#12 Transformations, part 1

다변수 함수를 시각화하는 많은 방법을 오랜 시간 배웠다

다변수 형식의 입력이나 출력을 가지는 함수다

f(x, y ······)

3차원 그래프가 자주 사용되었고 등치선, 벡터장, 매개화된 함수도 배웠다

 

여기서는 함수를 생각하는 제가 가장 좋아하는 방법인 변환(transformation)에 대해 얘기할까 한다

어떤 함수가 있을 때 아주 추상적으로 생각하면 입력공간이 있다고 생각할 수 있다

거품 모양으로 그리지만 실수 직선일 수도 있다 선일 수도 3차원 공간일 수도 있다

그리고 출력 공간이 있을 것이다 이것도 막연하게 거품으로 나타낸다

하지만 이것도 실수 직선이나 xy평면이나 공간일 수 있다

함수는 어떤 규칙으로 입력을 출력으로 보낸다

무언가를 시각화할 때는(그래프나 등치선도 처럼) 입력과 출력쌍을 엮어서 나타내려는 거다

f에 입력 3을 넣어서 [1 2]벡터로 사용된다고 하면 그 숫자 3과 (1, 2)를 연관시키는지가 문제다

변환에서의 사고는 실제 입력공간의 점들이 출력공간으로 이동하는 걸 보는 거다

 

간단한 예로 1차원 함수를 들겠다

단일 변수 입력과 단일 변수 출력을 가진다

함수 f(x)를 x^2-3이라고 하자

물론 이런 걸 시각화하는 익숙한 방법은 그래프다

포물선 모양의 무언가를 아래쪽으로 3으로 누른 것을 생각할 거다

하지만 여기서는 그래프로 생각하지 않는다

 

저는 단지 입력이 어떻게 출력으로 이동하는지 알고싶다

예를 들어 이 식에 0을 대입하면 -3이 나온다

0이 -3으로 가는 것을 표현하고 싶습니다

비슷하게 1을 넣으면 -2일 것이다

1이 -2로 이동하는 것도 표현해야 한다

다른 예를 들면 3을 넣으면 6이다  

이 변환에서 어떻게든 3이 6으로 이동하는 것이 나타나야 한다

애니로 보자

 

이 모든 숫자가 각자의 출력으로 이동하는 것을 볼 수 있다

작동시켜 보자 각 숫자가 이동해서 출력에 겹쳐진다

잠시 화면을 지우고 원래 입력이 어땠는지 표시해두기 위해 여기 위에 써놓는다

사용되는 것을 보는 한 방법이다 여기서 입력공간의 각각의 숫자가 출력공간으로 이동한다

 

단일 변수 함수일 때 입력이 출력으로 이동하는 느낌을 줘서 좋다

하지만 더 재밌어지는 쪽은 다변수 함수다

 

입력이 1차원이고 출력이 2차원인 함수를 떠올려보자

정해보자면 f(x) = [cos(x)]

                       [x*sin(x)]

값 몇개를 예로 들겠다

0을 넣고 이게 어디로 가는지 생각해보면

f(0)은 cos0는 1이고 0sin0은 0이다

0을 (1, 0)으로 이동시켜야 한다

0이 여기로 도달해야한다

 

pi에서도 생각해보자 f(pi)는

cos(pi) = (-1, 0)이 된다

여기로 0이 가듯 여기가 pi가 옮겨질 장소다

 

실제로 재생하면서 입력공간의 각각의 요소가 출력공간으로 이동하는 걸 보면 이렇게 된다  

이것은 실제 일어나는 일을 생각하기에 좋은 방법이다

이 공간이 결국 늘어나는지 짜부라지는지 탐구할 수 있다

이것이 이 함수의 매개화된 그래프와 같다는 것도 알 수 있다

매개화된 함수로 해석한다면 결국 얻는 것이다

하지만 매개화된 함수의 그래프에서는 입력에 대한 정보를 잃지만

여기서는 이리저리 비교하면서 무엇이 어디로 가는지 알 수 있다

 

다음 영상에서는 2차원 입력과 2차원 출력을 가진 함수를 변환으로 해석하는 방법을 알아보자