#13 Transformations, part 2

지난 영상에서는 함수를 한 공간의 점에서 다른 공간의 점으로 옮기는 것으로 생각하는 변환을 소개했고

이번에는 입력공간이 2차원일 때 어떤 모습인지 예를 보여주려고 한다

 

이곳이 입력공간이고 xy평면과 같은 모양이다

출력 공간도 2차원이니까 마찬가지로 평면이 된다

제가 하려고 하는 것은 변환 하나를 보여주고

해당하는 함수를 자세히 살펴봐서 변환을 이해하는 것이다

변환의 모습은 이렇다 이것이 우리가 살펴볼 변환이다

점이 많이 움직이는 난잡한 꼴이다

많은 일이 일어나고 있고 2차원에서 2차원으로 가는 이런 변환을 이해할 때 편리한 사고는

둘다 같은 xy평면이니까 입력과 출력공간을 겹쳐서

평면이 복사되어 이동하는 것으로 나타내는 것이다

 

나타난다는 말이 항상 애니를 반복해서 관찰한다는 것은 아니다

변환관점에서 생각한다는 것은 머릿속의 아주 추상적인 생각으로 이해하는 데 도움이 된다

나중에 더 이야기하겠지만 먼저 이 함수가 무엇인지 알아보자

 

제가 애니를 실행한 함수는 

f(x, y) = [x^2+y^2]

           [x^2-y^2]

이해를 돕기위해 원점의 예를 들자

원점의 (0, 0)이 어디로 옮겨지는지 보자

f(0, 0) x와 y가 모두 0이니까 위에껀 0 아래도 같이 0이다

f(0, 0) = [0 0]

점 (0, 0)은 자기 자신으로 가고 변환을 보면 (0, 0)이 핀을 꽂은 것처럼 그대로 있는 것이 보인다

이런 점은 해당 함수의 고정점이라 부르고 변환 관점이니까 '고정'점이라는 말이 사용되겠다

 

다른 점을 보자 (1, 1)이다

f(1, 1)을 이 점만 보기 위해 잠시 변환을 치워두자

입력 공간에서 (1, 1)은 여기 있고 어디로 갈지 알아보려고 한다

값을 넣어 보면

f(1, 1) = [2 0]이다 

그러니까 이 점이 어떻게 이동해서 (2, 0)으로 갈 것이다

변환을 보면 이 점이 이 점으로 이동해야하고 점이 매우 많아서 따라가기 힘들 수 있지만

주의 깊게 살폅면 점이 그곳으로 가는 게 보인다

이렇게 많은 점들의 이동을 계속 살펴볼 수 있겠지만 이게 무슨 목적인지 감이 안오겠죠?

 

 

사실 함수를 시각화하는 더 간단하고 덜 난잡한 방법이 많다

이 경우에는 벡터장이 좋은 방법이고 입력 하나와 출력 하나가 있으면 그래프가 좋다

 

그러면 왜 변환으로 생각할까?

주요 이유는 개념적인 것이다

눈앞에 애니메이션에서 하나하나씩 점들을 관찰해서 어디로 이동하는 지 보기 위해서가 아니다

하지만 함수를 변환으로 이해하면 다양한 수학적 개념들을 더 정교하게 이해할 수 있다

다변수 미적분학에서 배우게 될 도함수나 그 다양한 활용 연산은

공간의 늘어남과 찌그러짐 같은 것으로 이해할 수 있고

이런 것들은 그래프나 벡터장에서 의미를 찾기 쉽지 않다

그래서 변환은 이해의 한 관점을 추가해준다

또 변환은 선형대수에서 매우 중요한 부분이다

언젠가 선형대수와 다변수 미적분학의 연관성을 배우는 날이 올 것이다

 

변환에 대한 개념이 선형대수와 다변수 미적분학 관점에서 모두 확고한 것은

두 분야의 연결을 이해하는데 좋은 기반이 될 것이다