#15 What are multivariable functions? 함수가 입력이 여러 개일때를 다변수라고 한다 한 함수의 출력이 여러 개의 숫자로 구성되면 다변수라고 할 수 있지만, 이런 함수는 일반적으로 벡터값 함수라고도 한다 이러한 기능을 시각화 하는 것은 다차원적 공간(뇌가 폭발하지않기를 바란다면 두세개)을 생각하는 것이다. 다변형 기능이란? 처음 함수에 대해 배웠을 때 이것이 어쩌면 여러분에게도 사실일지도 모른다 나는 항상 그것들을 숫자를 받아들이고 숫자를 출력하는 것으로 생각했었다 대표적인 예가 다음과 같은 것이다 f(x) = x^2 or f(x) = sin(x) + 2√x 만약 여러분이 함수에 대해 처음 배웠을 때 여러분은 그 기능을 어떤 입력을 받고, 조작을 하고, 그리고 나서 출력을 뱉는 기계라고 상상하도록 배웠을 지도 모른다 하지만 함수들은 단지 숫자를.. #14 Transformations, part 3 여러분들에게 다변수 미적분학에 대해 설명하기 전에 변환의 예시를 보여주겠다 영상 속의 매개화된 곡면에서 여러분들은 이 함수를 본 적이 있다 매우 복잡해 보이는 함수인데요 2차원 값을 입력하면 3차원 값이 출력된다 그리고 여러분들에게 이 함수가 3차원 공간에서 어떻게 보일지 예상하는 방법을 알려드렸고 실제로는 도넛모양의 토러스가 나왔다 여기서 말하고싶은 것은 이러한 과정을 변환으로 이해하는 것이다 우선 입력값과 공간에 대해서 더 자세히 알아보자 입력값의 공간은 t-s 평면 전체로 생각할 수 있다 t축과 s축을 그리면 이 좌표평면위의 모든 점이 해당된다 하지만 평면의 일부만 고려해도 괜찮다 t의 범위를 0이상에서 2pi이하로 제한하고 s의 범위도 동일하게 제한하면 여러분들이 예상하듯이 정사각형의 영역이 생성.. #13 Transformations, part 2 지난 영상에서는 함수를 한 공간의 점에서 다른 공간의 점으로 옮기는 것으로 생각하는 변환을 소개했고 이번에는 입력공간이 2차원일 때 어떤 모습인지 예를 보여주려고 한다 이곳이 입력공간이고 xy평면과 같은 모양이다 출력 공간도 2차원이니까 마찬가지로 평면이 된다 제가 하려고 하는 것은 변환 하나를 보여주고 해당하는 함수를 자세히 살펴봐서 변환을 이해하는 것이다 변환의 모습은 이렇다 이것이 우리가 살펴볼 변환이다 점이 많이 움직이는 난잡한 꼴이다 많은 일이 일어나고 있고 2차원에서 2차원으로 가는 이런 변환을 이해할 때 편리한 사고는 둘다 같은 xy평면이니까 입력과 출력공간을 겹쳐서 평면이 복사되어 이동하는 것으로 나타내는 것이다 나타난다는 말이 항상 애니를 반복해서 관찰한다는 것은 아니다 변환관점에서 생각.. #12 Transformations, part 1 다변수 함수를 시각화하는 많은 방법을 오랜 시간 배웠다 다변수 형식의 입력이나 출력을 가지는 함수다 f(x, y ······) 3차원 그래프가 자주 사용되었고 등치선, 벡터장, 매개화된 함수도 배웠다 여기서는 함수를 생각하는 제가 가장 좋아하는 방법인 변환(transformation)에 대해 얘기할까 한다 어떤 함수가 있을 때 아주 추상적으로 생각하면 입력공간이 있다고 생각할 수 있다 거품 모양으로 그리지만 실수 직선일 수도 있다 선일 수도 3차원 공간일 수도 있다 그리고 출력 공간이 있을 것이다 이것도 막연하게 거품으로 나타낸다 하지만 이것도 실수 직선이나 xy평면이나 공간일 수 있다 함수는 어떤 규칙으로 입력을 출력으로 보낸다 무언가를 시각화할 때는(그래프나 등치선도 처럼) 입력과 출력쌍을 엮어서 나.. #11 3d vector field example(3D 벡터장 예시) 저번 영상에서는 3차원 벡터장에 대해 얘기했다 그리고 마지막으로 항등함수 같은 예로 입력과 출력벡터가 (x, y, z)인 걸 들었었다 여기서는 좀 더 복잡한 예로 넘어가려고 한다 이번 예는 출력의 x성분은 y*z y성분은 x*z z성분은 x*y f(x, y, z) = [yz] [xz] [xy] 그래서 벡터장을 일단 나타내고 이제 방금 쓴 함수가 벡터들과 어떤 의미로 연결되는지 알아보자 어떤 벡터들은 원점에서 멀어지는 방향이고 다른 벡터들은 다가간다 이 벡터장을 함수쪽에서는 어떻게 이해할까? 알아보기 좋은 방법은 성분 하나를 0으로 두는 것이다 이번에 저는 출력의 z성분인 x*y를 0으로 놓고 그 의미를 해석해보겠다 z성분은 벡터가 위아래로 가리키는 것을 나타낸다 xy평면은 여기에 있고 z축이 우리를 바라.. #10 3d vector fields, introduction(3D 벡터장 소개) 지난 영상에서 2차원 벡터장을 공부했는데 이번에는 3차원에서 벡터장을 사용하려 한다 3차원 벡터장은 x, y, z로 표현되는 3차원 입력과 x, y, z이 식인 3차원 출력인 함수를 표현하는데 만드는 방식은 2차원과 같이 3차원 공간상의 점을 여러개 고른다 이 점마다 출력을 구해서 3차원 벡터로 나타낸다 점에서 벡터로 나타내면 된다 아주 간단한 예를 들어 출력함수가 상수라고 해보자 상수 벡터 (1, 0, 0)이다 이 벡터는 단위길이이고 방향은 x축이다 그러면 모든 벡터는 길이가 1인 x방향으로 뻗은 벡터가 될 거다 이것을 수많은 점에서 구해보면 이런 모양의 벡터장이 나타난다 공간상의 모든 점에서 작은 파란 벡터가 있고 모두 같은 모양으로 x방향으로 단위길이로 복사되 있다 이 벡터장은 상당히 단조롭지만 출.. #9 Fluid flow and vector fields(유체흐름과 벡터장) 저번 시간에는 벡터장을 배웠고 여기서는 그 활용하나르 언급하려 한다 좌표평면을 표시하고 작은 물방울들을 그리면 이것이 이리저리 이동한다 이걸 수학적으로는 어떻게 나타낼까요? 모든 점에서 입자는 다른 방향으로 움직인다 이쯤에서는 왼쪽 아래로 움직이고 여기서는 위로 빠르게 이쯤에서는 아래로 느리게 움직인다 공간의 모든 점에 벡터를 배치하면 이것이 뭔가 유동의 성질을 나타낼 수도 있겠다 확실하지는 않지만 시선을 여기 한 점에 고정시키면 입자들이 지나갈 때마다 거의 같은 속도로 보이니 사실 유체흐름이 시간에 의존해서 속도가 계속 바뀌는 경우도 있지만 보통 이 점에서 입자가 지나갈 때 이 속도벡터를 가진다 여기서는 위로 크게 여기서는 아래로 작게 애니메이션을 다시 틀죠 공간의 모든 점에 벡터를 그린 모습을 상상하.. #8 Vector fields, introduction 벡터장 소개 안녕 오늘은 벡터장을 소개하려고 해 다변수 미적분학의 단골 주제고 물리학에서 자주 나오는 표현이다 유체흐름과 전자기학에서 엄청 자주 이용한다 벡터장은 입력과 출력의 개수가 같은 함수를 시각화 하는 방법이다 입력이 2차원으로 x와 y고 출력이 2차원이고 각 성분이 x와 y의 식인 함수를 예로 들겠다 f(x, y) = [y^3-9y] [x^3-9x] 대칭을 좋아하다보니 이렇게 썼지만 꼭 이런 식일 필요는 없다 이런 함수를 시각화 하려할 때 입력도 2차원이고 출력도 2차원이다 보니 그대로 표현하려면 4차원이라 어렵다 그래서 일단 입력공간만을 보자 xy평면만 다루면서 좌표축을 그리고 x축과 y축을 표시하고 각각의 입력점마다 (1, 2)에서의 출력벡터를 생각해서 그 점에서 뻗는 것이다 결국 어떻게 되.. 이전 1 2 3 4 다음
