#8 Vector fields, introduction

벡터장 소개

 

안녕 오늘은 벡터장을 소개하려고 해

다변수 미적분학의 단골 주제고 물리학에서 자주 나오는 표현이다

유체흐름과 전자기학에서 엄청 자주 이용한다

 

벡터장은 입력과 출력의 개수가 같은 함수를 시각화 하는 방법이다

입력이 2차원으로 x와 y고 출력이 2차원이고 각 성분이 x와 y의 식인 함수를 예로 들겠다

 

f(x, y) = [y^3-9y]

           [x^3-9x]

대칭을 좋아하다보니 이렇게 썼지만 꼭 이런 식일 필요는 없다

이런 함수를 시각화 하려할 때 입력도 2차원이고 출력도 2차원이다 보니

그대로 표현하려면 4차원이라 어렵다 

그래서 일단 입력공간만을 보자

 

xy평면만 다루면서 좌표축을 그리고 x축과 y축을 표시하고

각각의 입력점마다 (1, 2)에서의 출력벡터를 생각해서 그 점에서 뻗는 것이다

 

결국 어떻게 되냐면 (1, 2)에서 함숫값을 구하면 x=1, y=2니까 2^3

f(1, 2) = [2^3-9*2]

           [1^3-9*1]

이므로

= [-10]

   [-8]

먼저 이 벡터에서 원점부터 하나씩 세서 1부터 10까지고 y는 -8이니 화면밖으로 벗어날 만큼 큰 벡터다

벡터는 시점이 어디든 상관없으니까 여기서 시작해서 그대로

x성분이 -10이고 y성분이 -8을 y성분으로 긋고....엄청 큰 벡터다

 

벡터장의 개념은 (1, 2)에서만 표시하는 것이 아니라 많은 점에다 벡터를 표현하는 것이니

크기를 그대로 표현하면 매우 지저분해지겠다 모두 표시하다보면 이점에서 이렇게 긴 벡터

이점에서는 이렇게~~ 아주 지저분해질거다 이것들을 모두 지우고

보통 크기를 줄여서 벡터의 실제 크기는 정확하지는 않지만 각 점에서 어떤 방향인지 알게한다

이 그림에서 다른 수정은 원래 함수값과 일치하게 그린 건 아니라는 거다

모든 벡터가 같은 길이니까

이 벡터를 단위 길이로 이것도 단위 길이로 바꿔서

실제 벡터의 길이는 함수값에 따라 많이 차이가 나는데도 길이를 모두 같게 조절했다

 

벡터장을 그리거나 소프트웨어에서 그려질 때 자주 이렇게 하지만

보완하는 방법은 있다

 

한 방법은 벡터의 색을 칠해서

여기 다른 그림을 보자

색깔이 길이를 나타내게 해서 단위 길이로 정리해서 깔끔해 보이면서도 

붉고 따뜻한 색 벡터는 길이가 긴 것으로 푸른 빛은 짧은 것으로 구별할 수 있다

 

다른 방법은 원래 길이의 배수로 짧게 줄이는 것으로 

푸른 벡터들이 거의 길이가 0이 된 반면 붉은 벡터들은 길이가 거의 그대로죠

실제 함수값에 대응하는 벡터는 아주 길 수 있기 때문에 보기 적당한 정도로 자주 줄인다

 

다음 영상에서는 벡터장이 항상 활용되는 유체흐름을 보여주고

이는 벡터장이 있을 때 이를 직관적으로 이용하는 좋은 방법이다