#7 Parametric surfaces

f(t, ,s) = [ 3cos(t) + cos(t)cos(s) ]

           [ 3sin(t) + sin(t)cos(s)  ]

           [           sin(s)           ]

 

여기 굉장히 복잡한 함수가 있습니다

입력은 2차원이고 독립적인 좌표 2개가 들어가고 3차원 출력이 있다

3차원 벡터로 이 각각은 두 입력 변수의 사인값과 코사인값으로 이루어진 식이다

아까 영상에서 우리는 입력이 t처럼 매개변수 하나고 출력이 두 개인 함수를 시각화하는 것을 배웠다

 

t에 대한 식 하나 그리고 또 하나 이것을 3차원으로 확장하면 된다

이제 출력공간에 시각화 할텐데 출력값이 될 수 있는 모든 공간을 생각하면 된다

 

몇 개의 점에서 값을 구해서 함수가 어떤 모양인지 알아보자

함수 f를 t =0 s=pi 값을 구하면 꽤 단순한 모양이 되리라 생각한다

 

어떤 값인지 생각해보자

t가 0이므로 cos0은 1이니까 [ 3cos(t) + cos(t)cos(s) ]에서 앞의 항과 뒤의 항 둘다 1이된다

또 sin0는 0이니 [ 3sin(t) + sin(t)cos(s)  ]이 값에서의 sin(t)는 0이고 뒤에 것도 0이다

cos(pi)은 -1이다

sin(pi) = sin0 = 0이니 삼각함수 값을 정리해보면

f(0, pi) = [2]

            [0]

            [0]

이게 의미하는 바는 (2, 0, 0)이므로 x축 방향으로 2이동하고 다른 성분은 없으니까 그곳에 있을거다

그래서 그만큼 이동해서 점을 추가한다

이 점이 (0, pi)입력에 해당하는 출력이다

 

그리고 다른 입력점에서 점들 몇개를 추가해서 찍을 수 있다

하지만 이렇게 해서 전체를 알아보기에는 아주 긴 시간이 필요하다

 

다른 시도는 특정한 점에서 함수값을 구하지 말고 입력 하나가 일정하다고 생각하자

s=pi일 때를 생각해보자

t는 그대로 둔다 그러면 출력 집합이 생길 거다

s는 pi로 하고 t는 그대로 변수 형태로 둔다

f(t, pi)

이게 의미하는 바는 이 -1과 0값은 정해지지만

이제 출력 형태가 (3cos(t)-cos(t), 3sin(t)sint-sin(t), 0)이므로 (2cos(t), 2sin(t), 0)이 된다

s를 그대로 두고 t를 바꾸었을 때다

그러면 결국 나타나는 모양은 원이다

코사인과 사인식을 보면 원이라는 것을 알 수 있다

반지름이 2인 원이고 우리가 처음 구한 점을 당연히 포함하게 된다

한 변수를 그대로 놓아둔 경우다

이번에는 s를 변수로 두고 t를 상수로 하자 바로 그리겠다

 

결과는 이런 모양의 원이 된다

 

아까 예처럼 그림으로 옮겨보길 바란다

s를 놓아두고 t를 0으로 고정했을 때 어떻게 이런 원이 나왔을까?

t와 s를 모두 변수로 둘 때를 생각하는 좋은 방법은

이 원이 다른 t값들을 쓸고 지난다고 생각하는 거다

그럴 때 결국 돌리면 이런 형태가 됩니다 도넛입니다

수학자들은 토러스라고 한다

이 함수는 토러스를 나타내는 식이다

 

다른 영상에서 토러스가 주어졌을 때 반대로 함수를 찾는 법을 보여주겠다

이렇게 직관적으로 바꾸는지 말이다

그 영상에서 원을 돌리면 토러스가 되는 설명도 조금 더 자세히 포함하려 한다

그림의 붉은 원과 푸른 원의 관계도

하지만 지금까지는 매개화된 곡면이 무엇인지 2차원 입력과 3차원 출력을 가진 함수를 어떻게 나타내는지 설명을 드렸다