#4 Interpreting graphs with slices

이전 영상에서 3차원 그래프를 해석하는 방법을 배웠다

 

다른 3차원 그래프를 가져왔다

f(x, y) = cos(x)sin(y)이다

두 삼각함수를 곱한 그래프다

 

이 그래프에서 z값이 저 전체 값과 같게 그려지니까 함수의 출력이 z축의 높이로 표현되고

여기서는 그래프를 잘라서 익숙한 함수와의 관계를 살펴볼 것이다

 

예를 들어 이 평면으로 잘랐다고 생각하면

x값이 0인 점들을 모은 평면이니까 x축에 수직이 될 것이다

x좌표값이 0이고 원점을 통과하는 평면에서 y와 z값이 자유롭게 변하니까 결국 이 평면을 나타낼 것이다

이 자른 평면이 그래프를 어떻게 자르는지 알아보자

 

그래프 중에 평면과 만나는 부분만 잘라서 붉은 선으로 그린다

이 것은 sin함수다

사실 원점을 지나기 때문에 sin함수에 일치한다

처음에는 값이 올라가게 되고 함수식의 형태를 보면

f의 식에서 x=0을 대입하면

f(0, y) = cos(0)sin(y)를 곱한 값을 볼 수 있는데 cos(0)은 1이므로 결국 sin(y)함수다 

y를 바꿔가면서 z축에 출력값을 그려보면 자른 모양이 sin함수형태인 것이다

 

이번에는 x=0이 아니라 y=0을 대입해보자

눈으로 확인하기 전에 함수식만으로 y=0의 형태를 예측해보자

f(x, 0) = cos(x)sin(0)의 함수가 될텐데

sin(0)은 0이므로 cos(x)를 곱하더라도 모든 값이 0이 되어 모든 함수값이 0인 상수함수가 된다

y=0인 평면으로 자르면 y축을 볼때 전부 0이며 x와 z가 자유롭게 움직인다

y=0평면으로 그래프를 잘라보면 실제로 상수함수 직선처럼 보인다

x축을 따라 뻗어있다

 

이제는 다른 y값에 대해 해보자

y에 pi/2를 대입하면 f(x, pi/2) 함수이며

cos함수다 왜 그런지 알 수 있을 것이다

x를 그대로 두고 y값을 대입해보면

cos(x)sin(pi/2)가 되는데 sin(pi/2)가 1이니까 전체함수가 cos(x)가 된다

이 다변수함수에서 y를 묶어두고 x값을 바꿔보면 cos함수처럼 보인다

이 방식은 3차원 그래프를 이해하기 좋은 방법이다

우리가 잘 모르는 이 원래 그래프는 파도같고 울퉁불퉁한 것 외에는 이해할 수 있는 게 없지만

 이것을 한 변수를 고정시켜보면 항상 2차원 그래프로 표현이 된다

평면을 옮기면서 파도크기가 바뀌는 게 어떤 의미를 지니는지 등 여러가지를 생각해 볼 수 있다

이 접근은 편미분 개념을 생각할 때 특히 중요해진다